線形代数例

$[\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 2

サイズ $3$ の単位行列または恒等行列は $3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} x - λ & y + 0 & z + 0 \\ 2 x + 0 & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} x - λ & y & z + 0 \\ 2 x + 0 & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$z$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x + 0 & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.3

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.4

$z$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.5

$x$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z \\ x & y + 0 & z - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.6

$y$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z \\ x & y & z - λ \end{array}]$

ステップ 5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(x - λ) | \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (x - λ) | \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} | - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.2

$| \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (x - λ) ((y - λ) (z - λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(y - λ) (z - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (x - λ) (y (z - λ) - λ (z - λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (x - λ) (y z + y (- λ) - λ (z - λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (x - λ) (y z + y (- λ) - λ z - λ (- λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - λ (- λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.3

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.3.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.3.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - 1 \cdot - 1 λ^{2} - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z + 1 λ^{2} - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.5

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z + λ^{2} - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.2.2.2

$y z - y λ - λ z + λ^{2} - y z$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

$y z$ から $y z$ を引きます。

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - λ z + λ^{2} + 0) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.2.2.2.2

$- y λ - λ z + λ^{2}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - λ z + λ^{2}) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.2.2.3

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.3

$| \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x (z - λ) - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x z + 2 x (- λ) - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.3.2.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x z + 2 \cdot - 1 x λ - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.3.2.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x z - 2 x λ - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.3.2.2

$2 x z$ から $x z$ を引きます。

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (1 x z - 2 x λ) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.3.2.3

$x$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

ステップ 5.4

$| \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x (y - λ))$

ステップ 5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y - x (- λ))$

ステップ 5.4.2.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y - 1 \cdot - 1 x λ)$

ステップ 5.4.2.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y + 1 x λ)$

ステップ 5.4.2.1.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y + x λ)$

ステップ 5.4.2.2

$2 x y$ から $x y$ を引きます。

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (1 x y + x λ)$

ステップ 5.4.2.3

$x$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$- 1 z$ を $- z$ に書き換えます。

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x - λ) (- y λ - z λ + λ^{2})$ を展開します。

$p (λ) = x (- y λ) + x (- z λ) + x λ^{2} - λ (- y λ) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - x y λ + x (- z λ) + x λ^{2} - λ (- y λ) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - λ (- y λ) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.3.3

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.3.3.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - (λ \cdot λ) (- y) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.3.3.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - λ^{2} (- y) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{2} y - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.3.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + 1 λ^{2} y - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.3.6

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.3.7

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.3.7.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - (λ \cdot λ) (- z) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.3.7.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - λ^{2} (- z) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.3.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - 1 \cdot - 1 λ^{2} z - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.3.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + 1 λ^{2} z - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.3.10

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.3.11

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.3.11.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - (λ^{2} λ) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.3.11.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.3.11.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - (λ^{2} λ^{1}) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.3.11.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{2 + 1} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.3.11.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.4

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y (x z) - y (- 2 x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y x z + 2 y (x λ) + z (x y + x λ)$

ステップ 5.5.1.6

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y x z + 2 y x λ + z x y + z x λ$

ステップ 5.5.2

$- x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y x z + 2 y x λ + z x y + z x λ$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$- y x z$ と $z x y$ について因数を並べ替えます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - x y z + 2 y x λ + x y z + z x λ$

ステップ 5.5.2.2

$- x y z$ と $x y z$ をたし算します。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + 0 + z x λ$

ステップ 5.5.2.3

$- x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + z x λ$

ステップ 5.5.2.4

$- x z λ$ と $z x λ$ について因数を並べ替えます。

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + x z λ$

ステップ 5.5.2.5

$- x z λ$ と $x z λ$ をたし算します。

$p (λ) = - x y λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + 0$

ステップ 5.5.2.6

$- x y λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = - x y λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ$

ステップ 5.5.3

$- x y λ$ と $2 y x λ$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

$y$ を移動させます。

$p (λ) = x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - x y λ + 2 x y λ$

ステップ 5.5.3.2

$- x y λ$ と $2 x y λ$ をたし算します。

$p (λ) = x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 1 x y λ$

ステップ 5.5.4

$x$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + x y λ$

ステップ 5.5.5

$λ^{2}$ と $y$ を並べ替えます。

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + λ^{2} z - λ^{3} + x y λ$

ステップ 5.5.6

$λ^{2}$ と $z$ を並べ替えます。

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} + x y λ$

ステップ 5.5.7

$- λ^{3}$ を移動させます。

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} + x y λ - λ^{3}$

ステップ 5.5.8

$z λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + x y λ + z λ^{2} - λ^{3}$

ステップ 5.5.9

$y λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = x λ^{2} + x y λ + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3}$

ステップ 5.5.10

$x λ^{2}$ と $x y λ$ を並べ替えます。

$p (λ) = x y λ + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3}$

ステップ 6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$x y λ + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

ステップ 7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$λ$ を $x y λ + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$λ$ を $x y λ$ で因数分解します。

$λ (x y) + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

ステップ 7.1.2

$λ$ を $x λ^{2}$ で因数分解します。

$λ (x y) + λ (x λ) + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

ステップ 7.1.3

$λ$ を $y λ^{2}$ で因数分解します。

$λ (x y) + λ (x λ) + λ (y λ) + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

ステップ 7.1.4

$λ$ を $z λ^{2}$ で因数分解します。

$λ (x y) + λ (x λ) + λ (y λ) + λ (z λ) - λ^{3} = 0$

ステップ 7.1.5

$λ$ を $- λ^{3}$ で因数分解します。

$λ (x y) + λ (x λ) + λ (y λ) + λ (z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

ステップ 7.1.6

$λ$ を $λ (x y) + λ (x λ)$ で因数分解します。

$λ (x y + x λ) + λ (y λ) + λ (z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

ステップ 7.1.7

$λ$ を $λ (x y + x λ) + λ (y λ)$ で因数分解します。

$λ (x y + x λ + y λ) + λ (z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

ステップ 7.1.8

$λ$ を $λ (x y + x λ + y λ) + λ (z λ)$ で因数分解します。

$λ (x y + x λ + y λ + z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

ステップ 7.1.9

$λ$ を $λ (x y + x λ + y λ + z λ) + λ (- λ^{2})$ で因数分解します。

$λ (x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$λ = 0$

$x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2} = 0$

ステップ 7.3

$λ$ が $0$ に等しいとします。

$λ = 0$

ステップ 7.4

$x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2} = 0$

ステップ 7.4.2

$λ$ について $x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.4.2.2

$a = - 1$ 、 $b = x + y + z$ 、および $c = x y$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $λ$ の値を求めます。

$\frac{- (x + y + z) \pm \sqrt{{(x + y + z)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (x y))}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{{(x + y + z)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.2

${(x + y + z)}^{2}$ を $(x + y + z) (x + y + z)$ に書き換えます。

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{(x + y + z) (x + y + z) - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.3

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x + y + z) (x + y + z)$ を展開します。

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x \cdot x + x y + x z + y x + y \cdot y + y z + z x + z y + z \cdot z - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.3.1.4.1

$x$ に $x$ をかけます。

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x z + y x + y \cdot y + y z + z x + z y + z \cdot z - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.4.2

$y$ に $y$ をかけます。

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x z + y x + y^{2} + y z + z x + z y + z \cdot z - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.4.3

$z$ に $z$ をかけます。

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x z + y x + y^{2} + y z + z x + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.5

$x y$ と $y x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.3.1.5.1

$y$ と $x$ を並べ替えます。

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x y + x z + y^{2} + y z + z x + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.5.2

$x y$ と $x y$ をたし算します。

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + x z + y^{2} + y z + z x + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.6

$x z$ と $z x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.3.1.6.1

$z$ と $x$ を並べ替えます。

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + y z + x z + x z + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.6.2

$x z$ と $x z$ をたし算します。

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + y z + 2 x z + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.7

$y z$ と $z y$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.3.1.7.1

$z$ と $y$ を並べ替えます。

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + y z + y z + 2 x z + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.7.2

$y z$ と $y z$ をたし算します。

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.8

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 4 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.9

$2 x y$ と $4 x y$ をたし算します。

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{- 2}$

ステップ 7.4.2.3.3

$\frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{- 2}$ を簡約します。

$λ = \frac{x + y + z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

ステップ 7.4.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$